Question

(2007，安徽，17)如下圖，在六面體ABCD－中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，四邊形是邊長為1的正方形，⊥平面，⊥平面ABCD，．

(1)求證：與AC共面，與BD共面；

(2)求證：平面⊥平面；

(3)求二面角A--C的大小(用反三角函數值表示)．

Answer 1

答案：略
解析：

解析： 解法一(向量法)：以D為原點，以DA，DC，所在直線分別為x軸，Y軸，z軸建立空間直角坐標系D-xyz如圖，則有A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，(1，0，2)，(1，1，2)，(0，1，2)，(0，0，2)． (1)， ， ． 與平行，與平行， 于是與AC共面，與BD共面． (2)， ， ， 與DB是平面內的兩條相交直線，∴AC⊥平面． 又平面過AC， ∴平面⊥平面． (3)， ．設為平面的法向量， ， 于是，取， 則． 設為平面的法向量， ， ． 于是取， 則． ． ∴二面角的大小為． 解法二(綜合法)：(1)平面，平面ABCD， ∴，平面∥平面ABCD． 于是． 設E，F分別為DA，DC的中點，連結EF，， 有 ， 于是， 由DE=DF=1，得，故，與AC共面． 過點作平面ABCD于點O，則，連結OE，0F，于是． ． ． 所以點O在BD上，故與DB共面． (2)平面ABCD，，又(正方形的對角線互相垂直)，與BD是平面內的兩條相交直線，∴AC⊥平面． 又平面過AC， ∴平面平面． (3)∵直線DB是直線在平面ABCD上的射影， AC⊥DB，根據三垂線定理，有． 過點A在平面內作于M，連結MC，MO，則平面AMC，于是， 所以，是二面角的一個平面角．根據勾股定理，有 ． ，有， ， 二面角的大小為．