Question

在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建坐標系，已知曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），已知過點P（-2，-4）的直線L的參數(shù)方程為：，直線L與曲線C分別交于M，N．
（Ⅰ）寫出曲線C和直線L的普通方程；    
（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）消去參數(shù)可得直線l的普通方程，曲線C的方程可化為ρ²sin²θ=2aρcosθ，從而得到y(tǒng)²=2ax．
（II）寫出直線l的參數(shù)方程為，代入y²=2ax得到，則有，由|BC|²=|AB|，|AC|，代入可求a的值．
解答：解：（Ⅰ）根據(jù)極坐標與直角坐標的轉化可得，C：ρsin²θ=2acosθ⇒ρ²sin²θ=2aρcosθ，
即 y²=2ax，
直線L的參數(shù)方程為：，消去參數(shù)t得：直線L的方程為y+4=x+2即y=x-2（3分）

（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），
代入y²=2ax得到，
則有…（8分）
因為|MN|²=|PM|•|PN|，所以
即：[2（4+a）]²-4×8（4+a）=8（4+a）
解得 a=1…（10分）
點評：本題考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，是一道基礎題．