Question

已知Rt△ABC中，∠C=90°，

AB

•

AC

=9，S_△ABC=6，P為線段AB上的點(diǎn)，且

CP

=x•

CA

| CA |

+y•

CB

| CB |

，則xy的最大值為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)

AC

•

BC

=

AC

•(

AC

-

AB

)=0便可求出|

CA

|=3，

1

2

•3|

CB

|=6能求出|

CB

|=4．P為線段AB上的點(diǎn)，所以存在λ，0≤λ≤1，使得：

BP

=λ

BA

．所以

CP

=

CB

+

BP

=

CB

+λ

BA

=

CB

+λ(

CA

-

CB

)=λ

CA

+(1-λ)

CB

，所以會(huì)得到：

λ= x 3 1-λ= y 4

，這樣便能用λ表示x，y，所以xy能用λ表示，并且能表示成關(guān)于λ的二次函數(shù)，求這個(gè)二次函數(shù)在其定義域上的最值即可求得xy的最大值．

解答： 解：

AC

•

BC

=

AC

•(

AC

-

AB

)=

AC

2-9=0
∴|

AC

|=3；

1

2

|

AC

||

CB

|=

3

2

|

CB

|=6
∴|

CB

|=4；
設(shè)

BP

=λ

BA

=λ(

CA

-

CB

)(0≤λ≤1)．

CP

=

CB

+

BP

=

CB

+λ(

CA

-

CB

)=λ

CA

+(1-λ)

CB

；
∴

λ= x 3 1-λ= y 4

；
∴x=3λ，y=4（1-λ）
∴xy=12λ（1-λ0=-12(λ-

1

2

)2+3；
∵λ∈[0，1]
∴λ=

1

2

時(shí)，xy最大為：3．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：得出x，y用λ表示是求解本題的關(guān)鍵，這樣就將求兩個(gè)變量的最大值，變成了求一個(gè)變量的最大值，這樣就轉(zhuǎn)變成了求函數(shù)的最值了．