Question

1)已知函數y＝f(x)的定義域為R，且當x∈R時，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求證y＝f(x)的圖象關于直線x＝m對稱；

(2)若函數y＝log₂|ax－1|的圖象的對稱軸是x＝2，求非零實數a的值.

Answer 1

(1)設P(x₀，y₀)是y＝f(x)圖象上任意一點，

則y₀＝f(x₀).

又P點關于x＝m的對稱點為P′，則P′的坐標為

(2m－x₀，y₀).由已知f(m＋x)＝f(m－x)，得

f(2m－x₀)＝f(m＋(m－x₀))

＝f(m－(m－x₀))＝f(x₀)＝y(tǒng)₀.即

P′(2m－x₀，y₀)在y＝f(x)的圖象上.

∴y＝f(x)的圖象關于直線x＝m對稱.

(2)對定義域內的任意x，有f(2－x)＝f(2＋x)恒成立.

∴|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|恒成立，

即|－ax＋(2a－1)|＝|ax＋(2a－1)|恒成立.

又∵a≠0，∴2a－1＝0，得 a＝.

【方法技巧】函數對稱問題解題技巧

(1)證明函數圖象的對稱性，只需證明其圖象上的任意一點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖象上即可.

(2)①若f(a＋x)＝f(a－x)，x∈R恒成立，

則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱；

②若f(a＋x)＝－f(a－x)，x∈R恒成立，

則y＝f(x)的圖象關于點(a,0)對稱.