Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=120°．
①求證：平面ADE⊥平面ABE；
②求點(diǎn)C到平面ADE的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：向量語(yǔ)言表述面面的垂直、平行關(guān)系,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：計(jì)算題,證明題

分析：解法1①取BE的中點(diǎn)O，連OC．BC=CE，OC⊥BE．又AB⊥平面BCE，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)兩個(gè)法向量垂直得到面面垂直．
②根據(jù)寫出的點(diǎn)的坐標(biāo)，得到直線對(duì)應(yīng)的向量的坐標(biāo)，根據(jù)兩個(gè)向量之間所成的角得到線面角．
解法2①做出輔助線，取BE的中點(diǎn)O，AE的中點(diǎn)F，連OC，OF，CD，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，根據(jù)線面垂直得到面面垂直．
②根據(jù)CD 

∥ .

.

1

2

BA，延長(zhǎng)AD，BC交于T，得到C為BT的中點(diǎn)．得到點(diǎn)C到平面ADE的距離等于點(diǎn)B到平面ADE的距離的

1

2

，做出結(jié)果．

解答： 解法1：①取BE的中點(diǎn)O，連OC．
∵BC=CE，∴OC⊥BE．又AB⊥平面BCE．
以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz如圖，
則由已知條件有：C（1，0，0），B(0，

3

，0)，E(0，-

3

，0)D（1，0，1），A(0，

3

，2)（4分）
設(shè)平面ADE的法向量為n=（a，b，c），
則由n•

EA

=(a，b，c)•(0，2

3

，2)=2

3

b+2c=0．
及n•

DA

=(a，b，c)•(-1，

3

，1)=-a+

3

b+c=0．
可取

n

=(0，1，-

3

)（6分）
又AB⊥平面BCE．
∴AB⊥OC．OC⊥平面ABE
∴平面ABE的法向量可取為

m

=（1，0，0）．
∵

m

•

n

=(0，1，-

3

)•（1，0，0）=0，
∴

n⊥

m

∴平面ADE⊥平面ABE．（8分）
②點(diǎn)C到平面ADE的距離為|

CA • n

| n |

|=|

(-1， 3， 2)•(0，1，- 3 )

2

|=

3

2

（12分）
解法2：①取BE的中點(diǎn)O，AE的中點(diǎn)F，連OC，OF，CD．則OF

∥ .

.

1

2

BA
∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=2CD
∴CD 

∥ .

.

1

2

BA，OF

∥ .

.

CD
∴OC∥FD  （3分）
∵BC=CE，
∴OC⊥BE．又AB⊥平面BCE．
∴OC⊥平面ABE．
∴FD⊥平面ABE．
從而平面ADE⊥平面ABE．（6分）
②∵CD 

∥ .

.

1

2

BA，延長(zhǎng)AD，BC交于T
則C為BT的中點(diǎn)．
點(diǎn)C到平面ADE的距離等于點(diǎn)B到平面ADE的距離的

1

2

．（8分）
過(guò)B作BH⊥AE，垂足為H．
∵平面ADE．⊥平面ABE．
∴BH⊥平面BDE．
由已知有AB⊥BE．BE=2

3

，AB=2，
∴BH=

3

，
從而點(diǎn)C到平面ADE的距離為

3

2

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直和點(diǎn)到面的距離，本題求距離也可以這樣解：OC∥FD，點(diǎn)C到平面ADE的距離等于點(diǎn)O到平面ADE的距離為

3

2

．或取A B的中點(diǎn)M．易證CM∥DA．點(diǎn)C到平面ADE的距離等于點(diǎn)M到平面ADE的距離為

3

2

．