Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2n²，{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=

4

anan+1

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題

分析：（1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1求出{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=4n-2，設(shè){b_n}的公比為q，則b₁qd=b₁，d=4，求出{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）求出cn=

4

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[

1

2n-1

-

1

2n+1

]通過裂項(xiàng)相消的方法求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2
；當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2，…（3分）
故{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=4n-2，
即{a_n}是a₁=2，公差d=4的等差數(shù)列．
設(shè){b_n}的公比為q，
則b₁qd=b₁，d=4，
∴q=

1

4

．
故bn=b1qn-1=2×

1

4n-1

，即{bn}的通項(xiàng)公式為bn=

2

4n-1

．…（6分）
（2）∵a_n=4n-2
∴cn=

4

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[

1

2n-1

-

1

2n+1

]…（8分）
Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]…（10分）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)                             …（11分）
=

n

2n+1

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法、數(shù)列前n項(xiàng)和的求法；求和的關(guān)鍵是先求通項(xiàng)，據(jù)通項(xiàng)特點(diǎn)選擇合適的方法，屬于一道中檔題．