Question

△ABC的角A、B、C的對邊分別為a、b、c，

m

=（2b-c，a），

n

=（cosA，-cosC），且

m

⊥

n

． 
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）當(dāng)y=2sin²B+sin（2B+

π

6

）取最大值時，求角B的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)平面向量垂直時平面向量的數(shù)量積為0，得到一個關(guān)系式，利用正弦定理及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡，再利用誘導(dǎo)公式及sinB不為0，得到cosA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（Ⅱ）把所求的式子利用二倍角的餓余弦函數(shù)公式及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，由B的范圍求出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到正弦函數(shù)的最大值進(jìn)而得到y(tǒng)的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由

m

⊥

n

，得

m

•

n

=0，從而（2b-c）cosA-acosC=0，（2分）
由正弦定理得2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0
∴2sinBcosA-sin（A+C）=0，2sinBcosA-sinB=0，
∵A、B∈（0，π），∴sinB≠0，cosA=

1

2

，故A=

π

3

．（5分）
（Ⅱ）y=2sin²B+2sin（2B+

π

6

）=（1-cos2B）+sin2Bcos

π

6

+cos2Bsin

π

6

=1+

3

2

sin2B-

1

2

cos2B=1+sin（2B-

π

6

）．（8分）
由（Ⅰ）得，0＜B＜

2π

3

，-

π

6

＜2B-

π

6

＜

7π

6

，
∴當(dāng)2B-

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

時，y取最大值2．（10分）

點評：此題考查學(xué)生掌握平面向量垂直時滿足的條件及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡求值，掌握正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，是一道中檔題．