【題目】已知橢圓的焦距為，且經(jīng)過點．

（1）求橢圓的方程；

（2）A是橢圓與y軸正半軸的交點，橢圓上是否存在兩點M，N，使得△AMN是以A為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請說明有幾個，并求出直線MN；若不存在，請說明理由．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，有3個．

【解析】

試題先用待定系數(shù)法求出橢圓方程，因為，直角邊AM，AN不可能垂直或平行于軸，設的斜率為，則的斜率為，寫出的直線方程，分別與橢圓方程聯(lián)立，解出點的坐標，同理把，寫出點的坐標，求出，由，列出方程求出值.

試題解析：(Ⅰ)由題解得，．所以橢圓Ω的方程為．

(Ⅱ)由題意可知，直角邊AM，AN不可能垂直或平行于軸，故可設AM所在直線的方程為，不妨設，則直線AM所在的方程為．

聯(lián)立方程消去整理得，解得，將代入可得，故點 .

所以．

同理可得，由，得，

所以，則，解得或．

當AM斜率時，AN斜率；當AM斜率時，AN斜率；當AM斜率時，AN斜率．

綜上所述，符合條件的三角形有個.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】我們國家正處于老齡化社會中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有戶籍人口400萬，其中老人（年齡60歲及以上）人數(shù)約有66萬，為了了解老人們的健康狀況，政府從老人中隨機抽取600人并委托醫(yī)療機構(gòu)免費為他們進行健康評估，健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個等級，并以80歲為界限分成兩個群體進行統(tǒng)計，樣本分布被制作成如下圖表：

（1）若采用分層抽樣的方法再從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進一步了解他們的生活狀況，則兩個群體中各應抽取多少人？

（2）估算該市80歲及以上長者占全市戶籍人口的百分比；

（3）據(jù)統(tǒng)計該市大約有五分之一的戶籍老人無固定收入，政府計劃為這部分老人每月發(fā)放生活補貼，標準如下：

①80歲及以上長者每人每月發(fā)放生活補貼200元；

②80歲以下老人每人每月發(fā)放生活補貼120元；

③不能自理的老人每人每月額外發(fā)放生活補貼100元.

利用樣本估計總體，試估計政府執(zhí)行此計劃的年度預算.（單位：億元，結(jié)果保留兩位小數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知兩個不共線的向量滿足， ， .

（1）若與垂直，求的值；

（2）當時，若存在兩個不同的使得成立，求正數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù) .若曲線在點處的切線方程為（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司銷售甲、乙兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查和預測，甲產(chǎn)品的利潤（萬元）與投資額（萬元）成正比，其關系如圖所示；乙產(chǎn)品的利潤（萬元）與投資額（萬元）的算術(shù)平方根成正比，其關系式如圖所示．

（1）分別將甲、乙兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資額的函數(shù)；

（2）若該公司投資萬元資金，并全部用于甲、乙兩種產(chǎn)品的營銷，問：怎樣分配這萬元投資，才能使公司獲得最大利潤？其最大利潤為多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設， 分別為雙曲線的左、右焦點， 為雙曲線的左頂點，以， 為直徑的圓交雙曲線某條漸近線于， 兩點，且滿足，則該雙曲線的離心率為________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】數(shù)列中，在直線．

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）令，數(shù)列的前n項和為．

（ⅰ）求；

（ⅱ）是否存在整數(shù)λ，使得不等式(－1)nλ＜ (n∈N)恒成立？若存在，求出λ的取值的集合；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)．

(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

(2)當時，設函數(shù)的最小值為，求證：；

(3)求證：對任意的正整數(shù)，都有．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐的底面為平行四邊形，且,, 分別為中點，過作平面分別與線段相交于點.

（Ⅰ）在圖中作出平面使面‖ (不要求證明）；

（II）若，在（Ⅰ）的條件下求多面體的體積.

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