Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項和為．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項a_n與前n項和S_n；
（Ⅱ）設(shè)，{b_n}中的部分項恰好組成等比數(shù)列，且k₁=1，k₄=63，求數(shù)列{k_n}的通項公式；
（Ⅲ）設(shè)，求證：數(shù)列{c_n}中任意相鄰的三項都不可能成為等比數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)題目條件建立首項和公差的方程組，解之即可求出首項和公差，從而求出數(shù)列{a_n}的通項a_n與前n項和S_n；
（II）由（Ⅰ）得，b_n=2n-1，再由已知得等比數(shù)列的公比，可建立k_n的解析式；
（III）由（Ⅰ）得，假設(shè)數(shù)列中存在相鄰三項c_n，c_n+1，c_n+2（n∈N^*）成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)建立等式關(guān)系，找出矛盾，從而可求證得數(shù)列{c_n}中任意相鄰的三項都不可能成為等比數(shù)列．
解答：解：（Ⅰ）由已知得，∴d=2，…（3分）
故．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=2n-1，…（1分）
再由已知得，等比數(shù)列的公比，…（2分）
∴q=5…（2分）∴2k_n-1=5^n-1⇒∴…（2分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得．…（1分）
假設(shè)數(shù)列中存在相鄰三項c_n，c_n+1，c_n+2（n∈N^*）成等比數(shù)列，
則c_n+1²=c_nc_n+2，即．…（2分）
推出1=0矛盾．所以數(shù)列{b_n}中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列．…（2分）
點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及數(shù)列的求和和新數(shù)列的判定，屬于中檔題．