Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）有三個零點x₁，x₂，x₃，且x1+x2+x3=

9

2

，x₂x₃=6，f(-1)=

5

6

，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f′(1)=-

1

2

a，3a＞2c＞2b，求證：導函數(shù)f'（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個零點；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若導函數(shù)f'（x）的兩個零點之間的距離不小于

3

，求

b

a

的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）因為f(x)=x(

1

3

ax2+

1

2

bx+c)，因為x₂，x₃是方程

1

3

ax2+

1

2

bx+c=0的兩根，使用根與系數(shù)的關(guān)系，再由f(1)=

5

6

，求出b、a、c 的值，得到f（x）的 解析式及f'（x）的解析式，由f'（x）＜0求出減區(qū)間．
（Ⅱ） 求出f′(1)=-

1

2

a，f'（0）=c，f'（2）=a-c，當c＞0時 f'（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個零點，當c≤0時，f'（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一零點．
（Ⅲ）設(shè)m，n是導函數(shù)f'（x）=ax²+bx+c的兩個零點，由|m-n|≥

3

，及 3a＞2c＞2b，a＞0 求出

b

a

的取值范圍．

解答：解：（I）因為f(x)=x(

1

3

ax2+

1

2

bx+c)，又x1+x2+x3=

9

2

，x2x3=6，則x1=0，x2+x3=

9

2

，x2x3=6．
因為x₂，x₃是方程

1

3

ax2+

1

2

bx+c=0的兩根，則-

3b

2a

=

9

2

，

3c

a

=6．即b=-3a，c=2a．
又f(1)=

5

6

，即

1

3

a+

1

2

b+c=

5

6

，所以，

1

3

a-

3

2

a+2a=

5

6

，即a=1，從而b=-3，c=2．
所以，f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x．  因為f'（x）=x²-3x+2，由x²-3x+2＜0，得1＜x＜2．
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，2），單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1），（2+∞）．
（Ⅱ）因為f'（x）=ax²+bx+c，f′(1)=-

1

2

a，所以a+b+c=-

1

2

a，即3a+2b+2c=0．
因為3a＞2c＞2b，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0，b＜0．
于是f′(1)=-

a

2

＜0，f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．
（1）當c＞0時，因為f′(0)=c＞0，f′(1)=-

a

2

＜0，則f'（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個零點．
（2）當c≤0時，因為f′(1)=-

a

2

＜0，f′(2)=a-c＞0，則f'（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一零點．
故導函數(shù)f'（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個零點．
（Ⅲ）設(shè)m，n是導函數(shù)f'（x）=ax²+bx+c的兩個零點，則m+n=-

b

a

，mn=

c

a

=-

3

2

-

b

a

．
所以|m-n|=

(m+n)2-4mn

=

(- b a )2-4(- 3 2 - b a )

=

( b a +2)2+2

．
由已知，

( b a +2)2+2

≥

3

，則(

b

a

+2)2+2≥3，即(

b

a

+2)2≥1．
所以

b

a

+2≥1或

b

a

+2≤-1，即

b

a

≥-1或

b

a

≤-3．
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以，3a＞-3a-2b＞2b，即 -3a＜b＜-

3

4

a．
因為a＞0，所以-3＜

b

a

＜-

3

4

．
綜上分析，

b

a

的取值范圍是[-1，-

3

4

)．

點評：本題考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點的判斷，二次函數(shù)的性質(zhì)與不等式性質(zhì)的應用．