Question

1．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{{{2^{n+1}}{a_n}}}{{{a_n}+{2^n}}}$（n∈N₊）．
（1）證明：數(shù)列$\left\{{\frac{2^n}{a_n}}\right\}$是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n．

Answer 1

分析 （1）由已知可得$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}=\frac{a_n}{{{a_n}+{2^n}}}$，即$\frac{{{2^{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2^n}{a_n}+1$，利用等差數(shù)列的定義即可證明．
（2）由（Ⅰ）利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 （1）證明：由已知可得$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}=\frac{a_n}{{{a_n}+{2^n}}}$，即$\frac{{{2^{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2^n}{a_n}+1$，即$\frac{{{2^{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}-\frac{2^n}{a_n}=1$，
∴數(shù)列$\left\{{\frac{2^n}{a_n}}\right\}$是公差為1的等差數(shù)列．
（2）解：由（Ⅰ）知$\frac{2^n}{a_n}=\frac{2}{a_1}+（n-1）×1=n+1$，
∴${a_n}=\frac{2^n}{n+1}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的定義及其通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．