Question

已知函數(shù)f（x）=x²+x，當(dāng)x∈[n，n+1]（n∈N₊）時(shí)，f（x）的值中所有整數(shù)值的個(gè)數(shù)記為g（n）．
（Ⅰ）求g（2）的值，并求g（n）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)a_n=（n∈N₊），求數(shù)列{（-1）^n-1a_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）設(shè)b_n=，S_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N₊），若對(duì)任意的n∈N₊，都有S_n＜L（L∈Z）成立，求L的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當(dāng)n=2時(shí)，f（x）在[2，3]上遞增，由此可求g（2）的值，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求g（n）的表達(dá)式；
（Ⅱ）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用n是奇數(shù)、偶數(shù)分類(lèi)討論，分組求和，即可數(shù)列{（-1）^n-1a_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相消法求出S_n，即可求L的最小值．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=2時(shí)，f（x）在[2，3]上遞增，
所以6≤f（x）≤12，所以g（2）=7．----------------------------（2分）
因?yàn)閒（x）在[n，n+1]（n∈N₊）上單調(diào)遞增，
所以，n²+n≤f（x）≤（n+1）²+（n+1）=n²+3n+2，
從而g（n）=（n²+3n+2）-（n²+n）+1=2n+3．------------------（4分）
（Ⅱ）因?yàn)閍_n===n²，-------------------（5分）
所以T_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n=1²-2²+…+（-1）^n-1n²．----------------------------（6分）
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，T_n=-[1+2+3+4+…+（n-1）+n]=-；-----------------（8分）
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，T_n=1²-2²+…+[（n-2）²-（n-1）²]+n²=-------（10分）
（Ⅲ）b_n==，-----------------------------------（11分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=+…++，
∴S_n=+…++，
錯(cuò)位相減得S_n=+…+）-，-----------（12分）
所以，S_n=7-．---------------------------------------（13分）
因?yàn)镾_n=7-＜7，
所以若對(duì)任意的n∈N₊，都有S_n＜L（L∈Z）成立，則L≥7，
所以，L的最小值為7．----------------------------------------（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查數(shù)列的求和，考查學(xué)生分析、運(yùn)算能力，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．