Question

已知點(diǎn)（0，-

5

）是中心在原點(diǎn)，長軸在x軸上的橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，離心率為

6

6

，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F₁和F₂
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）點(diǎn)M在橢圓上，求△MF₁F₂面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由已知得b=

5

，

c

a

=

6

6

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）令M（x₁，y₁），則S△MF1F2=

1

2

•2•|y₁|=|y₁|，由此能求出當(dāng)y₁=±

5

時(shí)，S△MF1F2的最大值為

5

．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)（0，-

5

），離心率為

6

6

，
∴b=

5

，

c

a

=

6

6

，
解得a=

6

，c=1，
∴橢圓方程為

x2

6

+

y2

5

=1．
（Ⅱ）令M（x₁，y₁），則S△MF1F2=

1

2

•2•|y₁|=|y₁|，
∵-

5

≤y₁≤

5

，
∴|y₁|的最大值為

5

，
∴當(dāng)y₁=±

5

時(shí)，S△MF1F2的最大值為

5

．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓方程的求法以及橢圓的性質(zhì)，利用a、b、c、e幾何意義和a²=b²+c²求出a和b的值，根據(jù)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)范圍求出相應(yīng)三角形的面積最值，考查了分析問題和解決問題的能力．