Question

7．已知點(diǎn)P是橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}$=1上任一點(diǎn)，且點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，若以P點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)的倒數(shù)分別作為一個(gè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)，則該直角三角形斜邊長(zhǎng)的最小值為$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 由橢圓的參數(shù)方程可得P（3cosα，2sinα）（0＜α＜$\frac{π}{2}$），則$\frac{1}{9co{s}^{2}α}$+$\frac{1}{4si{n}^{2}α}$=（sin²α+cos²α）（$\frac{1}{9co{s}^{2}α}$+$\frac{1}{4si{n}^{2}α}$），展開運(yùn)用基本不等式可得最小值，再由直角三角形的勾股定理可得斜邊的最小值．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}$=1，可設(shè)P（3cosα，2sinα）（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
則$\frac{1}{9co{s}^{2}α}$+$\frac{1}{4si{n}^{2}α}$=（sin²α+cos²α）（$\frac{1}{9co{s}^{2}α}$+$\frac{1}{4si{n}^{2}α}$）
=$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$•$\frac{co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α}$+$\frac{1}{9}$•$\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$≥$\frac{13}{36}$+2$\sqrt{\frac{co{s}^{2}α}{4si{n}^{2}α}•\frac{si{n}^{2}α}{9co{s}^{2}α}}$=$\frac{13}{36}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{25}{36}$，
當(dāng)且僅當(dāng)2sin²α=3cos²α，即tanα=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，取得等號(hào)．
由題意可得直角三角形斜邊長(zhǎng)為$\sqrt{\frac{1}{9co{s}^{2}α}+\frac{1}{4si{n}^{2}α}}$，
即有最小值為$\frac{5}{6}$．
故答案為：$\frac{5}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的參數(shù)方程的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用乘1法，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．