Question

設(shè)x，y∈R，則（3-4y-cosx）²+（4+3y+sinx）²的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：數(shù)形結(jié)合法

分析：明確（3-4y-cosx）²+（4+3y+sinx）²的幾何意思，為直線3x+4y-25=0上的點(diǎn)到圓x²+y²=1上的點(diǎn)的距離的平方，利用點(diǎn)到直線間的距離公式即可求得答案．

解答： 解：∵（3-4y-cosx）²+（4+3y+sinx）²=(

[(3-4y)-cosx]2+[(4+3y)-(-sinx)]2

)2，
類比兩點(diǎn)間的距離公式|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

，
而且3（3-4y）+4（4+3y）-25=0，
∴所求的式子為直線3x+4y-25=0上的一點(diǎn)到圓x²+y²=1上的一點(diǎn)的距離的平方，
畫(huà)圖可知，過(guò)原點(diǎn)O（0，0）作3x+4y-25=0的垂線段，垂直為P，|OP|═

|3×0+4×0-25|

32+42

=5，
OP與圓的交點(diǎn)分別為M、N，
顯然，（3-4y-cosx）²+（4+3y+sinx）²的最小值為|PM|²=（|OP|-|OM|）²=（|OP|-1）²=16．
故答案為：16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查考查三角函數(shù)的最值，理解（3-4y-cosx）²+（4+3y+sinx）²的幾何意思是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查轉(zhuǎn)化思想與邏輯思維能力，屬于難題．