Question

定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）＜0恒成立，且f（4）=1，若f（x+y）≤1，則x²+y²的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定x+y的取值范圍，然后設(shè)c=x²+y²，轉(zhuǎn)化為可行域上的點(diǎn)到（0，0）的距離的平方的最小值的問題求解．

解答： 解：∵f'（x）＜0，
∴該函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∵f（x+y）≤1=f（4），
∴x+y≥4，
設(shè)c=x²+y²，表示可行域上的點(diǎn)到（0，0）的距離的平方，也表示一個圓，
當(dāng)x+y-4=0與這樣的圓相切時，其半徑最小，即可行域上的點(diǎn)到（0，0）的距離最小
∴c=|

0-0-4

2

|2=8．
故答案為：8

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系以及轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的問題求最小值的問題．綜合比較強(qiáng)．