Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)圍成正方形，右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為E，右焦點(diǎn)為F₂，且|F₂E|=1．
（1）求橢圓的方程；
（2）若過(guò)F₂的直線交橢圓于A．B兩點(diǎn)，且

OA

+

OB

與向量（1，-

2

4

）共線（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求

OA

與

OB

的夾角．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知

c a = 2 2 a2 c -c=1

，由此能得到所求橢圓．
（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，

OA

+

OB

=(2，0)，不合題意．當(dāng)直線AB的斜面率為k時(shí)，其方程為y=k（x-1），由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x1+x2= 4k2 1+2k2 x1x2= 2k2-2 1+2k2

，結(jié)合

OA

+

OB

與向量（1，-

2

4

）共線由題意得

2k

1+2k2

=

2 k 2

1+2k2

，由此能求出

OA

與

OB

的夾角．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
由

c a = 2 2 a2 c -c=1

，得a=

2

，c=1，b=1，
∴所求橢圓為

x2

2

+y2=1．
（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，

OA

+

OB

=(2，0)，不合題意．
當(dāng)直線AB的斜面率為k時(shí)，其方程為y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x1+x2= 4k2 1+2k2 x1x2= 2k2-2 1+2k2

，
∴

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)=(x1+x2，k(x1+x2-2))
=(

4k2

1+2k2

，

-2k

1+2k2

)，
由題意得

2k

1+2k2

=

2 k 2

1+2k2

，
∴k=0或k=

2

．
當(dāng)k=0時(shí)，

OA

與

OB

的夾角為π．
當(dāng)k=

2

時(shí)，∵

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]
=

2

5

+2[

2

5

-

8

5

+1]=0，
∴

OA

與

OB

的夾角為

π

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和求

OA

與

OB

的夾角．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用橢圓的性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．