Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長AB=2，點E是棱C₁D₁的中點，則異面直線B₁E和BC₁所成的角的余弦值為

 

．

Answer 1

分析：取CD的中點，連結(jié)BF、EF、C₁F，利用正方體的性質(zhì)證出B₁E∥BF，從而得到∠FBC₁（或其補角）就是直線B₁E和BC₁所成的角．然后在△BFC₁中算出各條邊的長，利用余弦定理加以計算，可得答案．

解答：解：取CD的中點，連結(jié)BF、EF、C₁F，
可得四邊形BB₁EF是平行四邊形，
∴B₁E∥BF，∠FBC₁（或其補角）就是直線B₁E和BC₁所成的角．
Rt△BCF中，BF=

BC 2+CF 2

=

5

，
同理得到C₁F=

5

，BC₁=2

2

．
在△BFC₁中，根據(jù)余弦定理可得cos∠FBC₁=

5+8-5

2× 5 ×2 2

=

10

5

．
即異面直線B₁E和BC₁所成的角的余弦值為

10

5

．
故答案為：

10

5

．

點評：本題在正方體中求異面直線所成角的大�。�著重考查了正方體的性質(zhì)異面直線及其所成的角的求法等知識，屬于中檔題．