Question

已知f（x）=-

1

3

x3+ax+blnx，f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且f'（1）=0．
（Ⅰ）若x=1不是f（x）的極值點，求a，b的值．
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）有零點，求（a+2）²+b²的取值范圍．

Answer 1

分析：對函數(shù)求導(dǎo)，（1）根據(jù)函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)等于0，以及x=1不是f（x）的極值點，得到關(guān)于a，b的方程，即可得到結(jié)果；
（2）先討論函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的最值，由函數(shù)的最大值大于或等于零（或函數(shù)的最小值小于或等于零）得出a的取值范圍，
再由二次函數(shù)即可求（a+2）²+b²的取值范圍．

解答：解：f′(x)=

(1-x)(x2+x+1-a)

x

（Ⅰ）由f'（1）=0得a+b=1，
由于x=1不是f（x）的極值點，
所以x=1是方程x²+x+1-a=0的根，得a=3，b=-2
（Ⅱ） f′(x)=

(1-x)(x2+x+1-a)

x

（1）當a≤1時，f（x）在（0，1）上遞增，（1，+∞）上遞減，
f(x)max=f(1)=a-

1

3

當a-

1

3

≥0即

1

3

≤a≤1時，函數(shù)y=f（x）有零點
（2）當a＞1時，f(1)=a-

1

3

＞0，f(

3

a)=(1-a)ln(

3

a)＜0
由零點存在定理，f（x）在(1，

3

a)內(nèi)有零點，從而在（0，+∞）內(nèi)有零點
所以當a≥

1

3

時，函數(shù)有零點．
又由a+b=1，故當a=

1

3

時，（a+2）²+b²取得最大值且最大值為

53

9

．

點評：利用導(dǎo)數(shù)工具討論函數(shù)的單調(diào)性，是求函數(shù)的值域和最值的常用方法，本題可以根據(jù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象與x軸交點，來幫助對題意的理解．