Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x，g（x）=xe^x．
（Ⅰ）求f（x）-g（x）的極值；
（Ⅱ）當x∈（-2，0）時，f（x）+1≥ag（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）令h（x）=f（x）-g（x），求導數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）-g（x）的極值；
（Ⅱ）當x∈（-2，0）時，x²+2x+1≥axe^x恒成立，即a≥

x2+2x+1

xex

=

x+2+x-1

ex

恒成立，求出右邊的最大值，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（I）令h（x）=f（x）-g（x），則h'（x）=（x+1）（2-e^x）…（2分）

x	（-∞，-1）	-1	（-1，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
h'（x）	-	0（-∞，-ln2）	+	0	-
h（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

…（5分）
∴h(x)極小值=h(-1)=

1

e

-1，
∴h(x)極大值=h(ln2)=ln22．…（7分）
（ II）由已知，當x∈（-2，0）時，x²+2x+1≥axe^x恒成立
即a≥

x2+2x+1

xex

=

x+2+x-1

ex

恒成立，…（9分）
令t(x)=

x+2+x-1

ex

，則t′(x)=-

(x2+1)(x+1)

x2ex

…（12分）
∴當x∈（-2，-1）時，t'（x）＞0，t（x）單調(diào)遞增
當x∈（-1，0）時，t'（x）＜0，t（x）單調(diào)遞減
故當x∈（-2，0）時，t（x）_max=t（-1）=0∴a≥0…（15分）

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎知識，考查恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化能力及計算能力，屬于中檔題．