Question

已知、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？

若存在其最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當(dāng)不存在時(shí)圓面積最大， ，此時(shí)直線方程為.

【解析】

試題分析：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用橢圓的定義列出，解出和的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，假設(shè)直線的斜率存在，設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消參得出關(guān)于的方程，得到兩根之和、兩根之積，求出的面積，面積之和內(nèi)切圓的半徑有關(guān)，所以當(dāng)的面積最大時(shí)，內(nèi)切圓面積最大，換一種形式求的面積，利用換元法和配方法求出面積的最大值，而直線的斜率不存在時(shí)，易求出和圓面積，經(jīng)過比較，當(dāng)不存在時(shí)圓面積最大.

試題解析：（Ⅰ）由已知，可設(shè)橢圓的方程為，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032804531309652512/SYS201403280455512870625310_DA.files/image015.png">，所以，，

所以，橢圓的方程為       4分

（也可用待定系數(shù)法，或用）

（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線：，由得，

設(shè)，，     6分

所以，

設(shè)內(nèi)切圓半徑為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032804531309652512/SYS201403280455512870625310_DA.files/image010.png">的周長為（定值），，

所以當(dāng)的面積最大時(shí)，內(nèi)切圓面積最大，又，     8分

令，則，所以     10分

又當(dāng)不存在時(shí)，，此時(shí)， 

故當(dāng)不存在時(shí)圓面積最大， ，此時(shí)直線方程為.        12分

（也可以設(shè)直線，避免對的討論，參照以上解法，按相應(yīng)步驟給分）

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線的方程；3.韋達(dá)定理；4.三角形面積公式；5.配方法求函數(shù)的最值.