Question

19．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）與y軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），F(xiàn)為左焦點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線FA的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$b．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）設(shè)b=2，直線y=kx+4與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，求證：直線BM與直線AN的交點(diǎn)G在定直線上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)F的坐標(biāo)為（-c，0），原點(diǎn)O到直線FA的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$b，列出方程，即可求解橢圓的離心率．
（Ⅱ）求出橢圓方程，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=8\\ y=kx+4\end{array}\right.$，通過韋達(dá)定理，設(shè)M（x_M，kx_M+4），N（x_N，kx_N+4），
求出MB方程，NA方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，推出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)F的坐標(biāo)為（-c，0），依題意有bc=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ab，
∴橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．                    …（3分）
（Ⅱ）若b=2，由（Ⅰ）得a=2$\sqrt{2}$，∴橢圓方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$． …（5分）
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=8\\ y=kx+4\end{array}\right.$
化簡得：（2k²+1）x²+16kx+24=0，
由△=32（2k²-3）＞0，解得：k²＞$\frac{3}{2}$
由韋達(dá)定理得：x_M+x_N=$\frac{-16k}{{2{k^2}+1}}$…①，x_Mx_N=$\frac{24}{{2{k^2}+1}}$…②…（7分）
設(shè)M（x_M，kx_M+4），N（x_N，kx_N+4），
MB方程為：y=$\frac{{k{x_M}+6}}{x_M}$x-2，…③
NA方程為：y=$\frac{{k{x_N}+2}}{x_N}$x+2，…④…（9分）
由③④解得：y=$\frac{{2（k{x_M}{x_N}+{x_M}+3{x_N}）}}{{3{x_N}-{x_M}}}$…（11分）
=$\frac{{2（\frac{24k}{{2{k^2}+1}}+\frac{-16k}{{2{k^2}+1}}+2{x_N}）}}{{4{x_N}-\frac{-16k}{{2{k^2}+1}}}}$=$\frac{{2（\frac{8k}{{2{k^2}+1}}+2{x_N}）}}{{4{x_N}+\frac{16k}{{2{k^2}+1}}}}$=1
即y_G=1，
∴直線BM與直線AN的交點(diǎn)G在定直線上．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，橢圓的簡單性質(zhì)方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．