Question

已知拋物線y²=4x的焦點F，過F作直線l交拋物線于A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）兩點，其中點A在x軸上方．
（1）求y_Ay_B的值，當|AB|=8時，求直線l的方程；
（2）設P（-1，0），求證：直線PA，PB的斜率之和為0；
（3）設Q（2，0），AQ的延長線交拋物線于C，BC的中點為D，當直線DF在y軸上的截距的取值范圍是（

2

3

，2），求y_A取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設l：y=k（x-1），由

y=k(x-1) y2=4x

，得y2-

4

k

y-4=0，由韋達定理和橢圓弦長公式能求出直線l的方程．
（2）由y_Ay_B=-4，和得k_PA+k_PB=

yA

xA+1

+

yB

xB+1

=0，由此能證明直線PA，PB的斜率之和為0．
（3）由（1）得C（

16

yA2

，

-8

yA

），B（

4

yA2

，

-4

yA

），從而D（

10

yA2

，

-6

yA

），DF：y=

6yA

yA2-10

（x-1），由此能求出y_A取值范圍．

解答： （1）解：由直線與拋物線有兩個不同交點知直線l的斜率不為零，
當直線l的斜率存在且不為零時，設l：y=k（x-1），
由

y=k(x-1) y2=4x

，得y2-

4

k

y-4=0，
∴y_Ay_B=-4，y_A+y_B=

4

k

，
當l斜率不存在時，y_Ay_B=-4，∴y_Ay_B=-4，
|AB|=

1+ 1 k2

|y₁-y₂|=

1+ 1 k2

(y1+y2)2-4y1y2

=8，
解得k=±1，
∴直線l的方程為：y=x-1或y=x+1．
（2）證明：∵y_Ay_B=-4，
∴k_PA+k_PB=

yA

xA+1

+

yB

xB+1

，
=

(yA+yB)(1+ yAyB 4 )

(xA+1)(xB+1)

=0，
∴直線PA，PB的斜率之和為0．
（3）解：由（1）得C（

16

yA2

，

-8

yA

），B（

4

yA2

，

-4

yA

），
∴D（

10

yA2

，

-6

yA

），∴DF：y=

6yA

yA2-10

（x-1），
令x=0，得

-6yA

yA2-10

∈(

2

3

，2)，∴y_A∈（1，2），
∴y_A取值范圍是（1，2）．

點評：本題考查直線方程的求法，考查兩直線的斜率之和為0的證明，考查點的縱坐標的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．