Question

17．如圖，已知圓O半徑是3，PAB和PCD是圓O的兩條割線，且PAB過O點，若PB=10，PD=8，給出下列四個結論：
①CD=3；
②BC=5；
③BD=2AC；
④∠CBD=30°．
則所有正確結論的序號是（　�。�

• A． ①③
• B． ①④
• C． ①②③
• D． ①③④

Answer 1

分析 ①由PB=10，AB=6，可得PA=4．由割線定理可得：PA•PB=PC•PD，解得PC，即可得出CD．
②連接OC，在△OCP中，由余弦定理可得：cosP=$\frac{{7}^{2}+{5}^{2}-{3}^{2}}{2×7×5}$=$\frac{13}{14}$，在△BCP中，由余弦定理可得：BC²=$1{0}^{2}+{5}^{2}-2×10×5×\frac{13}{14}$，解出BC．
③由△PCA∽△PBD，可得$\frac{CA}{BD}=\frac{PC}{PB}$，即可判斷出正誤．
④連接OD，則△OCD為正三角形，可得∠COD=2∠CBD=60°即可判斷出正誤．

解答 解：①∵PB=10，AB=6，∴PA=4．
由割線定理可得：PA•PB=PC•PD，
∴4×10=8PC，解得PC=5，
∴CD=PD-PC=3，正確．
②連接OC，在△OCP中，由余弦定理可得：
cosP=$\frac{{7}^{2}+{5}^{2}-{3}^{2}}{2×7×5}$=$\frac{13}{14}$，
在△BCP中，由余弦定理可得：
BC²=$1{0}^{2}+{5}^{2}-2×10×5×\frac{13}{14}$=$\frac{225}{7}$，
解得BC=$\frac{15}{\sqrt{7}}$=$\frac{15\sqrt{7}}{7}$，因此②不正確．
③∵△PCA∽△PBD，
∴$\frac{CA}{BD}=\frac{PC}{PB}$=$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，∴BD=2CA，正確．
④連接OD，則△OCD為正三角形，
∴∠COD=2∠CBD=60°，∴∠CBD=30°，正確．
綜上可得：只有①③④正確．
故選：D．

點評 本題考查了割線定理、圓的性質、相似三角形的性質、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．