Question

已知△ABC三個頂點的坐標分別是A（0，2），B（1，1），C（1，3）．若△ABC在一個切變變換T作用下變?yōu)椤鰽₁B₁C₁，其中B（1，1）在變換T作用下變?yōu)辄cB₁（1，-1）．
（1）求切變變換T所對應的矩陣M；
（2）將△A₁B₁C₁繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△A₂B₂C₂．求△A₂B₂C₂的面積．

Answer 1

考點：變換、矩陣的相等

專題：計算題

分析：（1）設M=

1 c b 1

，由B（1，1）在變換T作用下變?yōu)辄cB₁（1，-1）可得：

1 c b 1

•

1 1

=

1 -1

，即

1+c=1 b+1=-1

，解得矩陣M；
（2）將△A₁B₁C₁繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△A₂B₂C₂．根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換不改變圖形的形狀，可得變換前后三角形面積不變，進而得到答案．

解答： 解：（1）設M=

1 c b 1

，
∵B（1，1）在變換T作用下變?yōu)辄cB₁（1，-1）．
∴

1 c b 1

•

1 1

=

1 -1

，
即

1+c=1 b+1=-1

，
解得：b=-2，c=0，
∴M=

1 0 -2 1

…（4分）
（2）因為△ABC在變換T作用下變?yōu)椤鰽₁B₁C₁，
三個頂點的坐標分別是（0，2），（1，-1）和（1，1），其面積為1．
而旋轉(zhuǎn)變換不改變圖形的形狀，所以其面積不變，依然為1．
所以，△△A₂B₂C₂的面積為1．…（10分）

點評：本題考查變換與矩陣的相等，著重考查了矩陣的乘法法則和矩陣變換的含義等知識，屬于較基礎題．