Question

已知函數(shù). 

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若在上存在一點(diǎn)，使得＜成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增．（Ⅲ）所求的范圍是：或．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，令，求出，得切線斜率，由點(diǎn)斜式可寫(xiě)出曲線在處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先確定定義域，可通過(guò)單調(diào)性的定義，或求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間，由于，含有對(duì)數(shù)函數(shù)，可通過(guò)求導(dǎo)來(lái)確定單調(diào)區(qū)間，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由此需對(duì)參數(shù)討論，有范圍判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而得單調(diào)性；（Ⅲ）若在上存在一點(diǎn)，使得＜成立，既不等式＜有解，即在上存在一點(diǎn)，使得，即函數(shù)在上的最小值小于零，結(jié)合（Ⅱ），分別討論它的最小值情況，從而可求出的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041204394367304314/SYS201404120440209073417240_DA.files/image010.png">，

當(dāng)時(shí)，， ，

，,切點(diǎn)，斜率

∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為

（Ⅱ），

  

①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上，在上，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)，即時(shí)，在上，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增．

（Ⅲ）在上存在一點(diǎn)，使得成立，即在上存在一點(diǎn)，使得，即函數(shù)在上的最小值小于零．

由（Ⅱ）可知：①當(dāng)，即時(shí)， 在上單調(diào)遞減，

所以的最小值為，由可得，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041204394367304314/SYS201404120440209073417240_DA.files/image047.png">，所以；

②當(dāng)，即時(shí)， 在上單調(diào)遞增，

所以最小值為，由可得；

③當(dāng)，即時(shí)，可得最小值為，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041204394367304314/SYS201404120440209073417240_DA.files/image055.png">，所以，

故 此時(shí)不存在使成立．

綜上可得所求的范圍是：或．

考點(diǎn)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)性，存在解問(wèn)題．