Question

拋物線y²=2px的焦點弦AB的中點為M，A、B、M在準線上的射影依次為C、D、N．
求證：
（1）A、O、D三點共線，B、O、C三點共線；
（2）FN⊥AB（F為拋物線的焦點）．

Answer 1

證明：（1）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、中點M（x₀，y₀），焦點F的坐標是（

p

2

，0）．
由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

得ky²-2py-kp²=0．
∴A、B、M在準線上的射影依次為C、D、N，
∴C（-

p

2

，y₁）、D（-

p

2

，y₂）、N（-

p

2

，y₀）．
∵kOA=

y1

x1

=

y1

y12 2p

=

2p

y1

，kOD=

y2

- p 2

，
由ky²-2py-kp²=0
得y₁y₂=

-kp2

k

=-p²，
∴k_OA=k_OD，∴A、O、D三點共線．同理可證B、O、C三點共線．----（6分）
（2）k_FN=

y0

-p

，當x₁=x₂時，顯然FN⊥AB；
當x₁≠x₂時，k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

1 2p (y22-y12)

=

2p

y1+y2

=

p

y0

，
∴k_FN•k_AB=-1．
∴FN⊥AB．綜上所述知FN⊥AB成立．----（12分）