Question

（本題滿分15分）

把正整數(shù)按從小到大順序排列成下列數(shù)表，數(shù)表中第行共有個正整數(shù)：

    設(shè)是位于數(shù)表中從上往下數(shù)第行、從左往右數(shù)第個數(shù)

（1）若，求的值；

（2）記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）猜想與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

【答案】

（1） 

（2）              

（3）猜想：當(dāng)時，；當(dāng)時，    

證明：（法一）二項(xiàng)式定理的應(yīng)用                       

（法二）數(shù)學(xué)歸納法

【解析】第一問，利用已知的數(shù)字可知到第行共有個數(shù)

時，

    時，

    所以，

第二問中，

，累加法得到

第三問中，

        時，

        時，

        時，

        時，

猜想：當(dāng)時，；當(dāng)時，并用數(shù)學(xué)歸納法得證。

解:（1）到第行共有個數(shù)

    時，

    時，

    所以，                （3分）

（2）

由疊加可得                  （3分）

（3）

        時，

        時，

        時，

        時，

猜想：當(dāng)時，；當(dāng)時，       （3分）

 

證明：（法一）二項(xiàng)式定理的應(yīng)用                        （6分）

（法二）數(shù)學(xué)歸納法