Question

等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知對(duì)任意的n∈N^*，點(diǎn)（n，S_n），均在函數(shù)y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)）的圖象上．  
（1）求r的值；
（2）當(dāng)b=2時(shí)，記bn=

n+1

4an

（n∈N^*），求數(shù)列{b_n} 的前n項(xiàng)和T_n
（3）由（2），是否存在最小的整數(shù)m，使得對(duì)于任意的n∈N^*，均有3-2Tn＜

m

20

，若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知得 Sn=bⁿ+r，利用數(shù)列中a_n與 Sn關(guān)系an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

求{a_n}的通項(xiàng)公式，再據(jù)定義求出r的值；
（2）由（1）求得b_n=

n+1

2n+1

，即可得到Tn=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n+1

2n+1

再用錯(cuò)位相消法求Tn；
（3）對(duì)于任意的n∈N^*，均有3-2Tn＜

m

20

，只需

m

20

大于3-2Tn的最大值，利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，求出3-2T_n的最大值，再去確定m的取值情況．

解答：解：（1）因?yàn)閷?duì)任意的n∈N^*，點(diǎn)（n，S_n），均在函數(shù)y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)）的圖象上
所以得   S_n=bⁿ+r，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=b+r，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=bⁿ+r-（b^n-1+r ）=（b-1）b ^n-1，
又因?yàn)閧a_n}為等比數(shù)列，∴公比為b，所以 

a2

a1

=

(b-1)b

b+r

=b，解得r=-1，首項(xiàng)a₁=b-1，
∴a_n=（b-1）b^n-1    
（2）當(dāng)b=2時(shí)，a_n=2^n-1，b_n=

n+1

4an

=

n+1

4×2n-1

=

n+1

2n+1

   
則 Tn=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n+1

2n+1

∴

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+

4

25

+…+

n+1

2n+2

    
兩式相減，得

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1 23 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

∴T_n=

3

2

-

1

2n

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

（3）若 3-2Tn＜

m

20

使得對(duì)于任意的n∈N^*，都成立
∴3-（3-

n+3

2n

）＜

m

20

，
即

n+3

2n

＜

m

20

對(duì)于任意的n∈N^*，都成立
又

(n+1)+3

2n+1

-

n+3

2n

=

-n-2

2n

＜0，
∴

n+3

2n

的最大值在n=1時(shí)取得，最大值為2，
∴

m

20

＞2，m＞40，所以存在這樣的m=41符合題意．

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)與數(shù)列、不等式的綜合．主要考查等比數(shù)列定義，及利用錯(cuò)位相消法來處理數(shù)列求和、恒成立問題．