【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形， ， ， ， 與均為等邊三角形，點為的中點.

（1）證明：平面平面；

（2）試問在線段上是否存在點，使二面角的余弦值為，若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）見解析（2）點為的中點

【解析】試題分析：（1）連接，根據(jù)題設(shè)條件可證四邊形為正方形，即可得，設(shè)與相交于點，根據(jù)△與△均為等邊三角形可證，即可證，從而證明平面平面；（2）由題設(shè)條件及（1）可知，建立以點為坐標(biāo)原點， 為軸， 為軸， 為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的一個法向量，結(jié)合二面角的余弦值為，即可求出點的位置.

試題解析：（1）證明：連接，由于∥，點為的中點， ，

∴四邊形為正方形，可得

設(shè)與相交于點

又∵△與△均為等邊三角形

∴

在等腰△中，點為的中點

∴，且與相交于點，可得平面

又∵平面

∴平面平面．

（2）由，△與△均為等邊三角形，四邊形為正方形， 與相交于點，可知， ，所以，又平面平面，所以平面，以點為坐標(biāo)原點， 為軸， 為軸， 為軸建立空間直角坐標(biāo)系．

可得， ， ，

設(shè)點的坐標(biāo)為， ，由， ，可得，故 ，

設(shè)為平面的一個法向量，則

，得，平面的一個法向量為，

由已知 ，解得

所以，在線段上存在點，使二面角的余弦值為，且點為的中點．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某連鎖經(jīng)營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額如下表：

商店名稱

A

B

C

D

E

銷售額x/千萬元

3

5

6

7

9

利潤額y/百萬元

2

3

3

4

5

（1）畫出散點圖，觀察散點圖，說明兩個變量是否線性相關(guān)；

（2）用最小二乘法計算利潤額y對銷售額x的線性回歸方程；

（3）當(dāng)銷售額為4千萬元時，估計利潤額的大小.

（參考公式：，）

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【題目】為了調(diào)查觀眾對某熱播電視劇的喜愛程度，某電視臺在甲、乙兩地各隨機抽取了8名觀眾作問卷調(diào)查，得分統(tǒng)計結(jié)果如圖所示：

（1）計算甲、乙兩地被抽取的觀眾問卷的平均得分；

（2）計算甲、乙兩地被抽取的觀眾問卷得分的方差；

（3）若從甲地被抽取的8名觀眾中再邀請2名進行深入調(diào)研，求這2名觀眾中恰有1人的問卷調(diào)查成績在90分以上的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）當(dāng)時，令函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知f(x)＝，x∈(－2，2)．

(1) 判斷f(x)的奇偶性并說明理由；

(2) 求證：函數(shù)f(x)在(－2，2)上是增函數(shù)；

(3) 若f(2＋a)＋f(1－2a)>0，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體ABCDEF中，，平面ADE，

求證：．

若，，且直線BD與平面ABFE所成的正切值為，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某車間的一臺機床生產(chǎn)出一批零件，現(xiàn)從中抽取8件，將其編為， ，…， ，測量其長度（單位： ），得到下表中數(shù)據(jù)：

編號

長度

1.49

1.46

1.51

1.51

1.53

1.51

1.47

1.51

其中長度在區(qū)間內(nèi)的零件為一等品.

（1）從上述8個零件中，隨機抽取一個，求這個零件為一等品的概率；

（2）從一等品零件中，隨機抽取2個.

①用零件的編號列出所有可能的抽取結(jié)果；

②求這2個零件長度相等的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，點在傾斜角為的直線上，以坐標(biāo)原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的方程為.

（1）寫出的參數(shù)方程及的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)與相交于兩點，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝xln x．

（1）求函數(shù)f（x）的極值點；

（2）設(shè)函數(shù)g（x）＝f（x）－a（x－1），其中a∈R，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

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