【題目】如圖,在四棱錐中,底面
為直角梯形,
,
,
,
與
均為等邊三角形,點
為
的中點.
(1)證明:平面平面
;
(2)試問在線段上是否存在點
,使二面角
的余弦值為
,若存在,請確定點
的位置;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析(2)點為
的中點
【解析】試題分析:(1)連接,根據(jù)題設(shè)條件可證四邊形
為正方形,即可得
,設(shè)
與
相交于點
,根據(jù)△
與△
均為等邊三角形可證
,即可證
,從而證明平面
平面
;(2)由題設(shè)條件及(1)可知,建立以點
為坐標原點,
為
軸,
為
軸,
為
軸建立空間直角坐標系,分別求出平面
和平面
的一個法向量,結(jié)合二面角
的余弦值為
,即可求出點
的位置.
試題解析:(1)證明:連接,由于
∥
,點
為
的中點,
,
∴四邊形為正方形,可得
設(shè)與
相交于點
又∵△與△
均為等邊三角形
∴
在等腰△中,點
為
的中點
∴,且
與
相交于點
,可得
平面
又∵平面
∴平面平面
.
(2)由,△
與△
均為等邊三角形,四邊形
為正方形,
與
相交于點
,可知
,
,所以
,又平面
平面
,所以
平面
,以點
為坐標原點,
為
軸,
為
軸,
為
軸建立空間直角坐標系.
可得,
,
,
設(shè)點的坐標為
,
,由
,
,可得
,故
,
設(shè)為平面
的一個法向量,則
,得
,平面
的一個法向量為
,
由已知
,解得
所以,在線段上存在點
,使二面角
的余弦值為
,且點
為
的中點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某連鎖經(jīng)營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額如下表:
商店名稱 | A | B | C | D | E |
銷售額x/千萬元 | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
利潤額y/百萬元 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
(1)畫出散點圖,觀察散點圖,說明兩個變量是否線性相關(guān);
(2)用最小二乘法計算利潤額y對銷售額x的線性回歸方程;
(3)當銷售額為4千萬元時,估計利潤額的大小.
(參考公式:,
)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查觀眾對某熱播電視劇的喜愛程度,某電視臺在甲、乙兩地各隨機抽取了8名觀眾作問卷調(diào)查,得分統(tǒng)計結(jié)果如圖所示:
(1)計算甲、乙兩地被抽取的觀眾問卷的平均得分;
(2)計算甲、乙兩地被抽取的觀眾問卷得分的方差;
(3)若從甲地被抽取的8名觀眾中再邀請2名進行深入調(diào)研,求這2名觀眾中恰有1人的問卷調(diào)查成績在90分以上的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)當時,求函數(shù)
在點
處的切線方程;
(2)當時,令函數(shù)
,若函數(shù)
在區(qū)間
上有兩個零點,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=,x∈(-2,2).
(1) 判斷f(x)的奇偶性并說明理由;
(2) 求證:函數(shù)f(x)在(-2,2)上是增函數(shù);
(3) 若f(2+a)+f(1-2a)>0,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某車間的一臺機床生產(chǎn)出一批零件,現(xiàn)從中抽取8件,將其編為,
,…,
,測量其長度(單位:
),得到下表中數(shù)據(jù):
編號 | ||||||||
長度 | 1.49 | 1.46 | 1.51 | 1.51 | 1.53 | 1.51 | 1.47 | 1.51 |
其中長度在區(qū)間內(nèi)的零件為一等品.
(1)從上述8個零件中,隨機抽取一個,求這個零件為一等品的概率;
(2)從一等品零件中,隨機抽取2個.
①用零件的編號列出所有可能的抽取結(jié)果;
②求這2個零件長度相等的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,點
在傾斜角為
的直線
上,以坐標原點
為極點,以
軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線
的方程為
.
(1)寫出的參數(shù)方程及
的直角坐標方程;
(2)設(shè)與
相交于
兩點,求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xln x.
(1)求函數(shù)f(x)的極值點;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-a(x-1),其中a∈R,求函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).
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