【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形， ， ， ， 與均為等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）證明：平面平面；

（2）試問在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為，若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）見解析（2）點(diǎn)為的中點(diǎn)

【解析】試題分析：（1）連接，根據(jù)題設(shè)條件可證四邊形為正方形，即可得，設(shè)與相交于點(diǎn)，根據(jù)△與△均為等邊三角形可證，即可證，從而證明平面平面；（2）由題設(shè)條件及（1）可知，建立以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為軸， 為軸， 為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的一個(gè)法向量，結(jié)合二面角的余弦值為，即可求出點(diǎn)的位置.

試題解析：（1）證明：連接，由于∥，點(diǎn)為的中點(diǎn)， ，

∴四邊形為正方形，可得

設(shè)與相交于點(diǎn)

又∵△與△均為等邊三角形

∴

在等腰△中，點(diǎn)為的中點(diǎn)

∴，且與相交于點(diǎn)，可得平面

又∵平面

∴平面平面．

（2）由，△與△均為等邊三角形，四邊形為正方形， 與相交于點(diǎn)，可知， ，所以，又平面平面，所以平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為軸， 為軸， 為軸建立空間直角坐標(biāo)系．

可得， ， ，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為， ，由， ，可得，故 ，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則

，得，平面的一個(gè)法向量為，

由已知 ，解得

所以，在線段上存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為，且點(diǎn)為的中點(diǎn)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某連鎖經(jīng)營(yíng)公司所屬5個(gè)零售店某月的銷售額和利潤(rùn)額如下表：

商店名稱

A

B

C

D

E

銷售額x/千萬(wàn)元

3

5

6

7

9

利潤(rùn)額y/百萬(wàn)元

2

3

3

4

5

（1）畫出散點(diǎn)圖，觀察散點(diǎn)圖，說明兩個(gè)變量是否線性相關(guān)；

（2）用最小二乘法計(jì)算利潤(rùn)額y對(duì)銷售額x的線性回歸方程；

（3）當(dāng)銷售額為4千萬(wàn)元時(shí)，估計(jì)利潤(rùn)額的大小.

（參考公式：，）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了調(diào)查觀眾對(duì)某熱播電視劇的喜愛程度，某電視臺(tái)在甲、乙兩地各隨機(jī)抽取了8名觀眾作問卷調(diào)查，得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示：

（1）計(jì)算甲、乙兩地被抽取的觀眾問卷的平均得分；

（2）計(jì)算甲、乙兩地被抽取的觀眾問卷得分的方差；

（3）若從甲地被抽取的8名觀眾中再邀請(qǐng)2名進(jìn)行深入調(diào)研，求這2名觀眾中恰有1人的問卷調(diào)查成績(jī)?cè)?0分以上的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，令函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知f(x)＝，x∈(－2，2)．

(1) 判斷f(x)的奇偶性并說明理由；

(2) 求證：函數(shù)f(x)在(－2，2)上是增函數(shù)；

(3) 若f(2＋a)＋f(1－2a)>0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在多面體ABCDEF中，，平面ADE，

求證：．

若，，且直線BD與平面ABFE所成的正切值為，求二面角的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某車間的一臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)出一批零件，現(xiàn)從中抽取8件，將其編為， ，…， ，測(cè)量其長(zhǎng)度（單位： ），得到下表中數(shù)據(jù)：

編號(hào)

長(zhǎng)度

1.49

1.46

1.51

1.51

1.53

1.51

1.47

1.51

其中長(zhǎng)度在區(qū)間內(nèi)的零件為一等品.

（1）從上述8個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)，求這個(gè)零件為一等品的概率；

（2）從一等品零件中，隨機(jī)抽取2個(gè).

①用零件的編號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果；

②求這2個(gè)零件長(zhǎng)度相等的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在傾斜角為的直線上，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的方程為.

（1）寫出的參數(shù)方程及的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)與相交于兩點(diǎn)，求的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝xln x．

（1）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；

（2）設(shè)函數(shù)g（x）＝f（x）－a（x－1），其中a∈R，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案