Question

若函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)y＝f(x)的極值點．已知A，b是實數(shù)，1和－1是函數(shù)f(x)＝x3＋Ax2＋b x的兩個極值點．

(1)求A和b的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的極值點．

 

Answer 1

(1) ；(2) 函數(shù)g(x)的極值點為．

【解析】

試題分析：(1)極值點時，函數(shù)取得極值，對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)的值為，先對函數(shù)求導(dǎo)得，當(dāng)取時，導(dǎo)函數(shù)值為，得到關(guān)于的二元一次方程，解得的值；(2) 由知，令得或，兩數(shù)將定義域分成三個部分，根據(jù)極值定義列表判斷，可知當(dāng)時函數(shù)有極小值．

【解析】
(1)因為，

所以f′(x)＝3x2＋2Ax＋b，且f′(－1)＝3－2A＋b＝0，f′(1)＝3＋2A＋b＝0，

解得A＝0，b＝－3． 4分

經(jīng)檢驗，當(dāng)A＝0，b＝－3時，1和－1是函數(shù)f(x)＝x3＋Ax2＋bx的兩個極值點．

綜上，所求的A和b的值分別為0，－3． 5分

(2)由(1)，知f(x)＝x3－3x，所以g′(x)＝x3－3x＋2＝(x－1)2(x＋2)，

令g′(x)＝0，得x＝1或x＝－2， 7分

當(dāng)x變化時，g′(x)，g(x)的變化情況如下所示：

x	(－∞，－2)	－2	(－2,1)	1	(1，＋∞)
g′(x)	－	0	＋	0	＋
g(x)	↘?	極小值	↗?	不是極值	↗

11分

所以x＝－2是函數(shù)g(x)的極小值點，

即函數(shù)g(x)的極值點為－2． 12分

考點：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值．