Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-x（x∈R，a，b是常數(shù)），且當(dāng)x=1和x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極值．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若曲線y=f（x）與g（x）=-3x-m（-2≤x≤0）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）實(shí)數(shù)集上的可導(dǎo)函數(shù)，再通過(guò)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即極值點(diǎn)必為f′（x）=0的根建立起相關(guān)等式，運(yùn)用待定系數(shù)法確定a、b的值；
（II）曲線y=f（x）與g（x）=-3x-m（-2≤x≤0）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化成在[-2，0]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，設(shè)φ（x）=，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，然后依題意有解之即可求出m的范圍．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3ax²+2bx-1，…（2分）
依題意f'（1）=f'（2）=0，即解得…（4分）
∴…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲線y=f（x）與g（x）=-3x-m（-2≤x≤0）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
即在[-2，0]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解   …（6分）
設(shè)φ（x）=，則φ′（x）=，…（8分）
由φ'（x）=0的x=4或x=-1
當(dāng)x∈（-2，-1）時(shí)φ'（x）＞0，于是φ（x）在[-2，-1]上遞增；
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)φ'（x）＜0，于是φ（x）在[-1，0]上遞減．…（10分）
依題意有??
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及圖形交點(diǎn)問(wèn)題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．