Question

設(shè)a、b、c∈R，函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=3取得極值
（1）求a、b的值；
（2）若方程f（x）=0有3個(gè)不等實(shí)根，求c的取值范圍．

Answer 1

（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+c
∴f'（x）=3x²+2ax+b
∵f（x）在x=1，x=3處取得極值
∴f'（1）=3+2a+b=0．f'（3）=27+6a+b=0
∴a=-6，b=9…（6分）
（2）∵f（x）=x³-6x²+9x+c，
∴f'（x）=3x³-12x²+9=3（x-1）（x-3）
∴x∈（-∞，1）時(shí)，f'（x）＞0，x∈（1，3）時(shí)，f'（x）＜0，x∈（3，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，
∴f（x）極大值為f（1）=4+c，f（x）極小值為f（3）=c
∴方程f（x）=0有3個(gè)不等實(shí)根∴函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)∴4+c＞0＞c
∴-4＜c＜0…（12分）