【題目】如圖,邊長為4的正方形中,半徑為1的動圓Q的圓心Q在邊CD和DA上移動(包含端點A,C,D),P是圓Q上及其內(nèi)部的動點,設(shè),則的取值范圍是_____________.
【答案】
【解析】
建立如圖所示平面直角坐標系,可得,=( 4,0),.由圖可知,當動圓Q的圓心經(jīng)過點D時,P.此時m+n取得最大值:4m+4n=8+,可得m+n=2+ .當動圓Q的圓心為點C或點A時,利用三角函數(shù)求m+n的最小值.
解:如圖所示,邊長為4的長方形ABCD中,動圓Q的半徑為1,圓心Q在邊CD和DA上移動(包含端點A,C,D),P是圓Q上及內(nèi)部的動點,
向量 (m,n為實數(shù)),
=(0,4),=( 4,0),可得 =( 4m,4n).
當動圓Q的圓心經(jīng)過點D時,如圖:P.
此時m+n取得最大值:4m+4n=8+ ,可得m+n=2+ .
當動圓Q的圓心為點C時,BP與⊙C相切且點P在x軸的下方時,=(4+cosθ,sinθ),
此時,4m+4n=4﹣ sin(θ+ ),
m+n取得最小值為:1﹣,此時P( 4﹣ ,﹣).
同理可得,當動圓Q的圓心為點A時,BP與⊙A相切且點P在y軸的左方時,
m+n取得最小值為:1﹣,此時P(-,4﹣).
∴則m+n的取值范圍為
故答案為.
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【題目】如圖,在四棱錐中,正方形所在平面與正所在平面垂直,分別為的中點,在棱上.
(1)證明:平面.
(2)已知,點到的距離為,求三棱錐的體積.
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【題目】某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域內(nèi)舉行機器人攔截挑戰(zhàn)賽,在處按方向釋放機器人甲,同時在處按某方向釋放機器人乙,設(shè)機器人乙在處成功攔截機器人甲,若點在矩形區(qū)城內(nèi)(包含邊界),則挑戰(zhàn)成功,否則挑戰(zhàn)失敗,已知米,為中點,機器人乙的速度是機器人甲的速度的2倍,比賽中兩機器人均按勻速直線遠動方式行進.
(1)如圖建系,求的軌跡方程;
(2)記與的夾角為,,如何設(shè)計的長度,才能確保無論的值為多少,總可以通過設(shè)置機器人乙的釋放角度使之挑戰(zhàn)成功?
(3)若與的夾角為,足夠長,則如何設(shè)置機器人乙的釋放角度,才能挑戰(zhàn)成功?
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是一個菱形,三角形PAD是一個等腰三角形,∠BAD=∠PAD=,點E在線段PC上,且PE=3EC.
(1)求證:AD⊥PB;
(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求二面角E﹣AB﹣P的余弦值.
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【題目】設(shè)棱錐M-ABCD的底面是正方形,且MA=MD,MA⊥AB.如果△AMD的面積為1,試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.
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【題目】如圖所示為一正方體的平面展開圖,在這個正方體中,有下列四個命題:
①AF⊥GC;
②BD與GC成異面直線且夾角為60;
③BD∥MN;
④BG與平面ABCD所成的角為45.
其中正確的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】類似于平面直角坐標系,我們可以定義平面斜坐標系:設(shè)數(shù)軸的交點為,與軸正方向同向的單位向量分別是,且與的夾角為,其中。由平面向量基本定理,對于平面內(nèi)的向量,存在唯一有序?qū)崝?shù)對,使得,把叫做點在斜坐標系中的坐標,也叫做向量在斜坐標系中的坐標。在平面斜坐標系內(nèi),直線的方向向量、法向量、點方向式方程、一般式方程等概念與平面直角坐標系內(nèi)相應(yīng)概念以相同方式定義,如時,方程表示斜坐標系內(nèi)一條過點(2,1),且方向向量為(4,-5)的直線。
(1)若, ,且與的夾角為銳角,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若,已知點和直線 ①求l的一個法向量;②求點A到直線l的距離。
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【題目】拋擲兩顆骰子,計算:
(1)事件“兩顆骰子點數(shù)相同”的概率;
(2)事件“點數(shù)之和小于7”的概率;
(3)事件“點數(shù)之和等于或大于11”的概率.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知矩形的長為2,寬為1, , 邊分別在軸、軸的正半軸上, 點與坐標原點重合,將矩形折疊,使點落在線段上,設(shè)此點為.
(1)若折痕的斜率為-1,求折痕所在的直線的方程;
(2)若折痕所在直線的斜率為,( 為常數(shù)),試用表示點的坐標,并求折痕所在的直線的方程;
(3)當時,求折痕長的最大值.
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