(14分)設橢圓的左、右焦點分別為,上頂點為,在軸負半軸上有一點,滿足,且.

(Ⅰ)求橢圓的離心率;

(Ⅱ)D是過三點的圓上的點,D到直線的最大距離等于橢圓長軸的長,求橢圓的方程;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于兩點,在軸上是否存在點使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形,如果存在,求出的取值范圍,如果不存在,說明理由.

 

【答案】

(Ⅰ) ;(Ⅱ).(Ⅲ)

【解析】

試題分析:(I) B(x0,0),根據(jù),且,可得,

據(jù)此可得,所以離心率.

(II)在(I)的基礎上由離心率可知,可用a表示△的外接圓圓心和半徑,再根據(jù)

圓心到直線的距離為,建立關于a的方程求出a的值,橢圓方程為.

(III)直線方程與橢圓方程聯(lián)立消y得,下一步解題的關鍵是把借助韋達定理轉化為關于k,m的方程,從而可用k表示m,再利用函數(shù)的方法求出m的取值范圍.

(Ⅰ)設B(x0,0),由(c,0),A(0,b),

    知 

    由于 即中點.

    故

,  

故橢圓的離心率 

(Ⅱ)由(1)知于是,0), B,

    △的外接圓圓心為(,0),半徑r=||=,

D到直線的最大距離等于,所以圓心到直線的距離為

所以,解得=2,∴c =1,b=,

所求橢圓方程為.                         ------------------8分

(Ⅲ)由(2)知,

               代入得  

    設,

    則,     ------------------10分

   

    由于菱形對角線垂直,則

    故,則

                   ------------------12分

    由已知條件知 

    

    故存在滿足題意的點P且的取值范圍是.------------------14分

考點:直線與橢圓的位置關系,橢圓的標準方程及性質,點到直線的距離,直線與圓的位置關系,

向量的坐標運算,函數(shù)最值.

點評:本題屬于綜合性很強的題目,難度大,思維量大,只要掌握好橢圓的標準方程及有關性質,向量的坐標運算,函數(shù)最值的求法等基礎知識,還必須有較強的計算能力才能根本解決此類問題.

 

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(本題滿分14分)設橢圓的左、右焦點分別為F1
F2,直線過橢圓的一個焦點F2且與橢圓交于P、Q兩點,若的周長為。
(1)求橢圓C的方程;
(2)設橢圓C經(jīng)過伸縮變換變成曲線,直線與曲線相切
且與橢圓C交于不同的兩點A、B,若,求面積的取值范圍。(O為坐標原點)

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(本題滿分14分)

設橢圓的左、右焦點分別為,上頂點為,在軸負半軸上有一點,滿足,且.

   (1)求橢圓的離心率;

   (2)若過三點的圓恰好與直線相切,求橢圓的方程;

   (3)在(2)的條件下,過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于兩點,在軸上是否存在點使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形,如果存在,求出的取值范圍,如果不存在,說明理由。  

 

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科目:高中數(shù)學 來源:2011--2012學年湖北省高三八月份月考試卷理科數(shù)學 題型:解答題

(本題滿分14分)設橢圓的左、右焦點分別為F1

 

F2,直線過橢圓的一個焦點F2且與橢圓交于P、Q兩點,若的周長為。

(1)求橢圓C的方程;

(2)設橢圓C經(jīng)過伸縮變換變成曲線,直線與曲線相切

 

且與橢圓C交于不同的兩點A、B,若,求面積的取值范圍。(O為坐標原點)

 

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科目:高中數(shù)學 來源:2010年廣東省高考沖刺強化訓練試卷十文科數(shù)學 題型:解答題

(本小題滿分14分)設橢圓的左焦點為,上頂點為,過點垂直的直線分別交橢圓軸正半軸于點,且. ⑴求橢圓的離心率;⑵若過、、三點的圓恰好與直線相切,求橢圓的方程.

 

 

 

 

 

 

 

 

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(本小題滿分14分)

設橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的一點,,原點到直線的距離為

(Ⅰ)證明;

(Ⅱ)設為橢圓上的兩個動點,,過原點作直線的垂線,垂足為,求點的軌跡方程.

 

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