Question

已知數(shù)列和滿足.若為等比數(shù)列，且
（1）求與；
（2）設(shè)。記數(shù)列的前項(xiàng)和為.
（i）求；
（ii）求正整數(shù)，使得對(duì)任意，均有．

Answer 1

（1），；（2）（i）；（ii）．

試題分析：（1）求與得通項(xiàng)公式，由已知得，再由已知得，，又因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，即可寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式為，由數(shù)列的通項(xiàng)公式及，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，；（2）（i）求數(shù)列的前項(xiàng)和，首先求數(shù)列的通項(xiàng)公式，由，將，代入整理得，利用等比數(shù)列求和公式，即可得數(shù)列的前項(xiàng)和；（ii）求正整數(shù)，使得對(duì)任意，均有，即求數(shù)列的最大項(xiàng)，即求數(shù)列得正數(shù)項(xiàng)，由數(shù)列的通項(xiàng)公式，可判斷出，當(dāng)時(shí)，，從而可得對(duì)任意恒有，即．
（1）由題意，，，知，又有，得公比（舍去），所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，；
（2）（i）由（1）知，，所以；
（ii）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053452221700.png" style="vertical-align:middle;" />；當(dāng)時(shí)，，而，得，所以當(dāng)時(shí)，，綜上對(duì)任意恒有，故．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列與等比的列得概念，通項(xiàng)公式，求和公式，不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力．