已知函數(shù)f(x)=
1
1-x
+lg
1+x
1-x

（1）求函數(shù)f（x）的定義域，并判斷它的單調(diào)性（不用證明）；
（2）若f（x）的反函數(shù)為f-1（x），證明方程f-1（x）=0有解，且有唯一解；
（3）解關(guān)于x的不等式f[x（x+1）]＞1．
（1）由
1+x
1-x
＞0，及1-x≠0，得：-1＜x＜1，
∴f（x）的定義域為（-1，1），…（2分）
由于y=lg
1+x
1-x
=lg(-1+
2
1-x
)和y=
1
1-x
在（-1，1）上都是增函數(shù)，
∴f（x）在定義域（-1，1）內(nèi)是增函數(shù)．      …（4分）
（2）令x=0，得f（0）=1．即x=0是方程f-1（x）=0的一個解…（7分）
設x1≠0是f-1（x）=0的另一解，則由反函數(shù)的定義知f（0）=x1≠0，
這與f（0）=1矛盾，故f-1（x）=0有且只有一個解．…（10分）
（3）由f[x（x+1）]＞1=f（0），且f（x）為定義在（-1，1）上的增函數(shù)，得0＜x（x+1）＜1，
解得-
1+
5
2
＜x＜-1或0＜x＜
-1+
5
2
，這也即為不等式f[x（x+1）]＞1的解．…（16分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案