Question

如圖展示了一個由區(qū)間（0，1）到實數(shù)集R的映射過程：區(qū)間（0，1）中的實數(shù)m對應(yīng)數(shù)軸上的點M（點A對應(yīng)實數(shù)0，點B對應(yīng)實數(shù)1），如圖①；將線段AB圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合，如圖②；再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為（0，1），在圖形變化過程中，圖①中線段AM的長度對應(yīng)于圖③中的弧ADM的長度，如圖③，圖③中直線AM與x軸交于點N（n，0），則m的象就是n，記作f（m）=n．

給出下列命題：①f（

1

4

）=1；②f（

1

2

）=0；③f（x）是奇函數(shù)；④f（x）在定義域上單調(diào)遞增，則所有真命題的序號是

 

．（填出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：映射

專題：閱讀型

分析：①m=

1

4

時，點M恰好處在左半圓弧的中點上，求出直線AM的方程得出N的橫坐標；
②當m=

1

2

時，M位于圓與y軸的下交點上，直線為x=0，由此判斷命題正確；
③由函數(shù)的定義域判斷命題不正確；
④由圖3知點M的運動規(guī)律，得出函數(shù)值的變化情況和單調(diào)性；

解答： 解：：①當m=

1

4

時，M位于左半圓弧的中點上，M點坐標為（-

1

2π

，1-

1

2π

），
直線AM方程為y=x+1，f（

1

4

）=-1．命題①錯誤；
②當m=

1

2

時，M位于圓與y軸的下交點上，直線為x=0，
∴f（

1

2

）=0．命題②正確；
③∵函數(shù)的定義域為（0，1），
∴f（x）是非奇非偶函數(shù)．命題③錯誤；
④由圖3知，當m由0到1時，M由A運動到B，N的坐標逐漸增大，
∴f（x）在定義域上單調(diào)遞增．命題④正確．
故正確的答案是②④．
故答案為：②④．

點評：本題考查映射的概念，關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題．