已知函數(shù)f(x)=
20x-5x2
，2≤x≤4
x
x2+1
，x＜2
，則定積分
∫
4
-2
f(x)dx=
5
π
5
π
．
分析：將
∫
4
-2
f(x)dx轉(zhuǎn)化成
∫
2
-2
x
x2+1
dx+
∫
4
2
20x-5x2
dx，然后根據(jù)函數(shù)f（x）=x
x2+1
是奇函數(shù)，則
∫
2
-2
x
x2+1
dx=0，
∫
4
2
20x-5x2
dx表示橢圓
y2
20
+
(x-2)2
4
=1面積的
1
4
，即可求出所求．
解答：解：
∫
4
-2
f(x)dx=
∫
2
-2
x
x2+1
dx+
∫
4
2
20x-5x2
dx
根據(jù)函數(shù)f（x）=x
x2+1
是奇函數(shù)，則
∫
2
-2
x
x2+1
dx=0
令y=
20x-5x2
則y2+5x2-20x=0（y≥0）
即
y2
20
+
(x-2)2
4
=1（y≥0）
∫
4
2
20x-5x2
dx表示橢圓
y2
20
+
(x-2)2
4
=1面積的
1
4
，而橢圓的面積為
ab
π
∴
∫
4
2
20x-5x2
dx=
1
4
20×4
π=
5
π
∴
∫
4
-2
f(x)dx=
∫
2
-2
x
x2+1
dx+
∫
4
2
20x-5x2
dx=
5
π
故答案為：
5
π
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了定積分的簡單應(yīng)用，以及定積分的幾何意義，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負(fù)數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點(diǎn)（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）若f（x）+mx＞1對(duì)一切的正實(shí)數(shù)x均成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案