Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直線BC₁與平面A₁BD所成角的余弦值是

3

3

．

Answer 1

分析：設(shè)正方體的棱長等于1，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，得出D、B、C₁、A₁各點的坐標(biāo)，從而得出

BC1

、

A1D

、

BD

的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組解出

n

=（1，-1，-1）是平面A₁BD的一個法向量，利用向量的夾角公式算出cos＜

BC1

，

n

＞的值，即得直線BC₁與平面A₁BD所成角的正弦值，最后利用同角三角函數(shù)關(guān)系可得直線BC₁與平面A₁BD所成角的余弦值．

解答：解：分別以DA、DC、DD₁為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系
設(shè)正方體的棱長等于1，可得
D（0，0，0），B（1，1，0），C₁（0，1，1），A₁（1，0，1），
∴

BC1

=（-1，0，1），

A1D

=（-1，0，-1），

BD

=（-1，-1，0）
設(shè)

n

=（x，y，z）是平面A₁BD的一個法向量，
則

n • A1D =-x-z=0 n • BD =-x-y=0

，取x=1，得y=z=-1
∴平面A₁BD的一個法向量為

n

=（1，-1，-1）
設(shè)直線BC₁與平面A₁BD所成角為θ，則
sinθ=|cos＜

BC1

，

n

＞|=

BC1 • n

|BC1| • n

=

6

3

∴cosθ=

1-sin2θ

=

3

3

，即直線BC₁與平面A₁BD所成角的余弦值是

3

3

故答案為：

3

3

點評：本題給出正方體模型，求直線與平面所成角的余弦值，著重考查了正方體的性質(zhì)、利用空間向量研究直線與平面所成角等知識，屬于中檔題．