Question

已知函數(shù)f（x）=x²+xsinx+cosx．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（a，f（a））處與直線y=b相切，求a與b的值；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）與直線y=b有兩個不同交點，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意可得f^′（a）=0，f（a）=b，聯(lián)立解出即可；
（II）利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性與極值即最值，得到值域即可．
解答：解：（I）f^′（x）=2x+xcosx，
∵曲線y=f（x）在點（a，f（a））處與直線y=b相切，
∴f^′（a）=0，f（a）=b，聯(lián)立，解得，
故a=0，b=1．
（II）∵f^′（x）=x（2+cosx）．
于是當(dāng)x＞0時，f^′（x）＞0，故f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)x＜0時，f^′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=0時，f（x）取得最小值f（0）=1，
故當(dāng)b＞1時，曲線y=f（x）與直線y=b有兩個不同交點．故b的取值范圍是（1，+∞）．
點評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值及其幾何意義是解題的關(guān)鍵．