Question

（2013•延慶縣一模）已知函數(shù)f(x)=-2a2lnx+

1

2

x2+ax（a∈R）．
（Ⅰ） 討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0求出函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，求出函數(shù)的減區(qū)間
（Ⅱ）a＜0時，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）在[1，e]上的單調(diào)性確定出最小值，借助（Ⅰ）的結(jié)論，由于參數(shù)的范圍對函數(shù)的單調(diào)性有影響，故對其分類討論，

解答：解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），…（1分）
（Ⅰ）f′(x)=

x2+ax-2a2

x

=

(x+2a)(x-a)

x

，…（4分）
（1）當(dāng)a=0時，f'（x）=x＞0，所以f（x）在定義域為（0，+∞）上單調(diào)遞增； …（5分）

（2）當(dāng)a＞0時，令f'（x）=0，得x₁=-2a（舍去），x₂=a，
當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下：
此時，f（x）在區(qū)間（0，a）單調(diào)遞減，
在區(qū)間（a，+∞）上單調(diào)遞增；          …（7分）

（3）當(dāng)a＜0時，令f'（x）=0，得x₁=-2a，x₂=a（舍去），
當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下：
此時，f（x）在區(qū)間（0，-2a）單調(diào)遞減，
在區(qū)間（-2a，+∞）上單調(diào)遞增．…（9分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)a＜0時，f（x）在區(qū)間（0，-2a）單調(diào)遞減，在區(qū)間（-2a，+∞）上單調(diào)遞增．…（10分）
（1）當(dāng)-2a≥e，即a≤-

e

2

時，f（x）在區(qū)間[1，e]單調(diào)遞減，
所以，[f(x)]min=f(e)=-2a2+ea+

1

2

e2；                     …（11分）
（2）當(dāng)1＜-2a＜e，即-

e

2

＜a＜-

1

2

時，f（x）在區(qū)間（1，-2a）單調(diào)遞減，
在區(qū)間（-2a，e）單調(diào)遞增，所以[f(x)]min=f(-2a)=-2a2ln(-2a)，…（12分）
（3）當(dāng)-2a≤1，即-

1

2

≤a＜0時，f（x）在區(qū)間[1，e]單調(diào)遞增，
所以[f(x)]min=f(1)=a+

1

2

．…（13分）

點評：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的鍵是理解并掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，此類題一般有兩類題型，一類是利用導(dǎo)數(shù)符號得出單調(diào)性，一類是由單調(diào)性得出導(dǎo)數(shù)的符號，本題屬于第一種類型．本題的第二小問是根據(jù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，本題中由于參數(shù)的存在，導(dǎo)致導(dǎo)數(shù)的符號不定，故需要對參數(shù)的取值范圍進(jìn)行討論，以確定函數(shù)在這個區(qū)間上的最值．