Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=.

（I）求f（x）在區(qū)間[1，a]（a>1）上的最小值；

（II）若關(guān)于x的不等式f2（x）+mf（x）>0只有兩個整數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】.（1）當(dāng)1<a≤2時，f（x）的最小值為f（1）=ln2；當(dāng)a>2，f（x）的最小值為f（a）=；（2）（-ln2，-ln6]

【解析】試題分析：（1）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；利用函數(shù)的單調(diào)性求出極值，與區(qū)間端點值的函數(shù)值比較大小可得結(jié)果；（2）時，整數(shù)解有無數(shù)多個，不合題意時，整數(shù)解有無數(shù)多個，不合題意； 時，不等式有兩整數(shù)解，則.

試題解析：（1）f '（x）=，令f '（x）>0得f（x）的遞增區(qū)間為（0， ）；

令f '（x）<0得f（x）的遞減區(qū)間為（，+），

∵x∈[l，a]，則當(dāng)1<a≤時，f（x）在[1，a]上為增函數(shù)，f（x）的最小值為

f（1）=ln2； . . . . . . . . . . . 3分

當(dāng)a>時，f（x）在[1， ）上為增函數(shù)，在（，a]上為減函數(shù)，f（2）==ln2=f（1），

∴若<a≤2，f（x）的最小值為f（1）=ln2，

若a>2，f（x）的最小值為f（a）=，

綜上，當(dāng)1<a≤2時，f（x）的最小值為f（1）=ln2；

當(dāng)a>2，f（x）的最小值為f（a）=.

（2）由（1）知，f（x）的遞增區(qū)間為（0， ），遞減區(qū)間為（，+∞），且在（，+）上ln2x>lne=1>0，又x>0，則f（x）>0. 又f（）=0.

∴m>0時，由不等式f2（x）+mf（x）>0得f（x）>0或f（x）<-m，而f（x）>0解集為（，+），整數(shù)解有無數(shù)多個，不合題意；

m=0時，由不等式f2（x）+mf（x）>0得f（x）≠0，解集為（0， ）（，+∞），整數(shù)解有無數(shù)多個，不合題意； . . . . . 10分

m<0時，由不等式f2（x）+mf（x）>0得f（x）>-m或f（x）<0，∵f（x）<0解集為（0， ）無整數(shù)解，若不等式f2（x）+mf（x）>0有兩整數(shù)解，則f（3）≤-m<f（1）=f（2），

∴-ln2<m≤-ln6

綜上，實數(shù)m的取值范圍是（-ln2，-ln6]