Question

（2013•和平區(qū)一模）已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為

1

2

，它的一個頂點恰好是拋物線y=

3

12

x²的焦點．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）若A、B是橢圓C上關x軸對稱的任意兩點，設P（-4，0），連接PA交橢圓C于另一點E，求證：直線BE與x軸相交于定點M；
（III）設O為坐標原點，在（II）的條件下，過點M的直線交橢圓C于S、T兩點，求

OS

•

OT

的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設出題意方程，利用離心率為

1

2

，它的一個頂點恰好是拋物線y=

3

12

x²的焦點，建立方程組，即可求橢圓C的標準方程；
（II）設出直線PA方程，代入橢圓方程，設出直線BE方程，利用韋達定理，令y=0，即可證得結論；
（III）分類討論，設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，及向量的數(shù)量積公式，即可求

OS

•

OT

的取值范圍．

解答：（I）解：設橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），拋物線方程可化為x2=4

3

y，其焦點為（0，

3

）
由題意，可得

a2-b2 a = 1 2 b= 3

，∴

a=2 b= 3

∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）證明：由題意可知直線PA的斜率存在，設直線PA的方程為y=k（x+4）
代入橢圓方程可得（4k²+3）x²+32k²x+64k²-12=0①
設A（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則B（x₁，-y₁），
直線BE的方程為y-y2=

y2-y1

x2-x1

(x-x2)
令y=0，可得x=x2-

y2(x2-x1)

y2+y1

將y₁=k（x₁+4），y₂=k（x₂+4）代入上式，整理可得x=

2x1x2+4(x1+x2)

x1+x2+8

②
由①得x₁+x₂=-

32k2

4k2+3

，x1x2=

64k2-12

4k2+3

代入②整理可得x=-1
∴直線BE與x軸相交于定點M（-1，0）；
（III）解：當過點M的直線ST的斜率存在時，設直線ST的方程為y=m（x+1），且設S（x₁，y₁），T（x₂，y₂）在橢圓C上，
直線代入橢圓方程，可得（4m²+3）x²+8m²x+4m²-12=0
△=144（m²+1）＞0，x₁+x₂=-

8m2

4m2+3

，x₁x₂=

4m2-12

4m2+3

∴y₁y₂=m²（x₁+1）（x₂+1）=-

9m2

4m2+3

∴

OS

•

OT

=x1x2+y1y2=-

5m2+12

4m2+3

=-

5

4

-

33

4(4m2+3)

∵m²≥0，∴

OS

•

OT

∈[-4，-

5

4

）
當過點M的直線ST的斜率不存在時，直線ST的方程為x=-1，S（-1，

3

2

），T（-1，-

3

2

）
∴

OS

•

OT

=-

5

4

綜上所述，

OS

•

OT

的取值范圍為[-4，-

5

4

]．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線恒過定點，考查向量的數(shù)量積公式，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．