(2011•濱州一模)已知函數(shù)f(x)=
3
2
sin2x-cos2x-
1
2
,x∈R.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,其中c=2
3
,f(C)=0,若向量
m
=(sinB,2)與向量
n
=(1,-sinA)垂直,求a,b的值.
分析:(I)根據(jù)二倍角公式和輔助角公式,化簡得f(x)=sin(2x-
π
6
)-1,結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式,即可得到函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(II)根據(jù)(I)的解析式,結(jié)合三角形內(nèi)角的取值范圍解f(C)=0得C=
π
3
,由向量
m
n
解出sinB=2sinA,即b=2a,最后由由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC的式子,代入前面的數(shù)據(jù)即可解出a、b的值.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=
3
2
sin2x-
1
2
(1+cos2x)-
1
2
=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x-1
=sin2xcos
π
6
-cos2xsin
π
6
-1=sin(2x-
π
6
)-1,…(4分)
令2kπ+
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
2
,得kπ+
π
3
≤x≤kπ+
6
(k∈Z)
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+
π
3
,kπ+
6
](k∈Z)…(6分)
(Ⅱ)因?yàn)閒(C)=sin(2C-
π
6
)-1=0,所以sin(2C-
π
6
)=1
又∵-
π
6
<2C-
π
6
11π
6
,∴2C-
π
6
=
π
2
,解之得C=
π
3
…(8分)
∵向量
m
=(sinB,2)與向量
n
=(1,-sinA)垂直,
∴sinB-2sinA=0,即sinB=2sinA…(9分)
根據(jù)正弦定理得b=2a,再由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,
得12=a2+4a2-4a2cos
π
3
=3a2…(11分)
解之得a=2,所以b=2a=4.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題給出三角函數(shù)表達(dá)式,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并依此求三角形ABC的邊長.著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換和正余弦定理等知識(shí),屬于中檔題.
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i
、
j
,分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量,在直角三角形ABC中,若
AB
=
i
+3
j
,
AC
=2
i
+k
j
,則“k=1”是“∠C=
π
2
”的(  )

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y≥2|x|-1
y≤x+1
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(2011•濱州一模)若雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
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