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已知(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz＝0，

(1)若a、b、c成等差數列，且公差d≠0，求證：x、y、z成等比數列；

(2)若正數x、y、z成等比數列，且公比q≠1，求證：a、b、c成等差數列．

答案：
解析：

　　證明：(1)∵a、b、c成等差數列，且公差d≠0，

　　∴b－c＝a－b＝－d，c－a＝2d，d≠0，

　　代入已知條件得－d(logmx－2logmy＋logmz)＝0．

　　∵d≠0，

　　∴l(xiāng)ogmx＋logmz＝2logmy．

　　∴y2＝xz．由于x、y、z均大于0，∴x、y、z成等比數列．

　　(2)∵x、y、z成等比數列，且公比q≠1，x、y、z均大于0，∴＝＝q(q≠1)．

　　兩邊取對數得logmy－logmx＝logmz－logmy＝logmq≠0，

　　代入已知條件中，可得

　　(b－c)(logmy－logmq)＋(c－a)logmy＋(a－b)(logmy＋logmq)＝0，

　　∴(a－2b＋c)logmq＝0．∴a＋c＝2b．

　　∴a、b、c成等差數列．


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