Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、M分別是棱A₁B₁、AA₁、B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求證：BF⊥平面ADE；
（2）是否存在過E、M兩點(diǎn)且與平面BFD₁平行的平面？若存在，請(qǐng)指出并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）通過證明△ABF≌△A₁AE，推出AE⊥BF．然后證明AD⊥BF，利用在與平面垂直的判定定理證明BF⊥平面ADE．
（2）設(shè)點(diǎn)N在棱BB₁上，且B₁N=

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BB₁，連接ME、NE、MN，則平面EMN∥平面BFD₁．證明EN∥A₁H，EN∥BF．證明EN∥平面BFD₁．MN∥平面BFD₁．然后證明平面EMN∥平面BFD₁．

解答： （1）證明：在正方形ABB₁A₁中，E、F分別是棱A₁B₁、AA₁的中點(diǎn)，
∴△ABF≌△A₁AE，∴∠ABF=∠A₁AE．∴∠A₁AE+∠AFB=∠ABF+∠AFB=90°，∴AE⊥BF．在正方體ABCD_-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥平面ABB₁A₁，BF?平面ABB₁A₁，
∴AD⊥BF．∵AE∩AD=A，∴BF⊥平面ADE．
（2）解：如答圖，設(shè)點(diǎn)N在棱BB₁上，且B₁N=

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BB₁，連接ME、NE、MN，則平面EMN∥平面BFD₁．證明如下：取BB₁的中點(diǎn)H，連接A₁H、C₁H．
∵E、N分別是A₁B₁、B₁H的中點(diǎn)，∴EN∥A₁H．∵A₁F∥HB，且A₁F=HB，
∴四邊形A₁FBH是平行四邊形．∴A₁H∥BF．∴EN∥BF．
∵EN?平面BFD₁，BF?平面BFD₁，∴EN∥平面BFD₁．
同理MN∥平面BFD₁．又MN∩EN=N，∴平面EMN∥平面BFD₁．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定定理，平面與平面平行的判定定理的證明，考查空間想象能力邏輯推理能力．