Question

（本小題滿分14分）

如圖1所示，在邊長(zhǎng)為12的正方形中，點(diǎn)在線段上，且，，作，分別交，于點(diǎn)，，作，分別交，于點(diǎn)，，將該正方形沿，折疊，使得與重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求四棱錐的體積；

（Ⅲ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

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Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）證明：在正方形中，因?yàn)?img width=162 height=18 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/58/289458.gif" >，

所以三棱柱的底面三角形的邊．

因?yàn)?img width=50 height=18 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/62/289462.gif" >，，

所以，所以．…………………………………2分

因?yàn)樗倪呅?img width=54 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/57/289457.gif" >為正方形，，

所以，而，

所以平面． …………………………………………………………5分

（Ⅱ）解：因?yàn)?img width=40 height=18 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/70/289470.gif" >平面，

所以為四棱錐的高．

因?yàn)樗倪呅?img width=48 height=22 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/77/289477.gif" >為直角梯形，且，，

所以梯形的面積為．

所以四棱錐的體積． ……………………9分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，，，兩兩互相垂直．以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，， 

所以，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為．

則    即

令，則．

所以．………………………………………………………………12分

顯然平面的一個(gè)法向量為．

設(shè)平面與平面所成銳二面角為．

則．

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．……………………14分