Question

橢圓+=1和雙曲線-=1的公共焦點為F₁，F(xiàn)₂，P是兩曲線的一個交點，那么∠F₁PF₂=________．

Answer 1

90°
分析：根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得PF₁+PF₂=2a=4，PF₁-PF₂=2a′=4，解得PF₁和PF₂ 的值，三角形F₁PF₂ 中，由余弦定理可得4c²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos∠F₁PF₂，解方程求得cos∠F₁PF₂的值，進而可得答案．
解答：由橢圓+=1 可得，a=2，c=，再根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得
PF₁+PF₂=2a=4，PF₁-PF₂=2a′=4，解得 PF₁=，PF₂=．
三角形F₁PF₂ 中，由余弦定理可得4c²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos∠F₁PF₂，
解得 cos∠F₁PF₂=0，
則∠F₁PF₂=90°，
故答案為90°．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，橢圓、雙曲線的定義和標準方程，以及余弦定理的應用，求出 PF₁和PF₂的值，是解題的關(guān)鍵．