已知函數(shù)f(x)=2ax+
b
x
+lnx．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=1，x=
1
2
處取得極值，求a，b的值；
（Ⅱ）若f′（1）=2，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．
（Ⅰ）∵f′（x）=2a-
b
x2
+
1
x
，…（2分）
由
f′(1)=0
f′(
1
2
)=0
，…（4分）
可得
a=-
1
3
b=
1
3
．…（6分）
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），…（7分）
因?yàn)閒′（1）=2，所以b=2a-1．…（8分）
所以f′（x）=
2ax2+x-(2a-1)
x2
=
(x+1)[2ax-(2a-1)]
x2
，…（9分）
要使f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，只要f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．…（10分）
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=
x+1
x2
＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)；  …（11分）
當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）=0，得x1=-1，x2=
2a-1
2a
=1-
1
2a
＞1，
此時(shí)f（x）在（0，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)；           …（12分）
當(dāng)a＞0時(shí)，要使f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，只要1-2a≥0，即0＜a≤
1
2
．…（13分）
綜上所述，a的取值范圍是a∈[0，
1
2
]．…（14分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負(fù)數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點(diǎn)（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）若f（x）+mx＞1對(duì)一切的正實(shí)數(shù)x均成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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